微积分基础

何为微积分？

微积分为牛顿与莱布尼茨发明的一种极其实用的数学工具，在理工科方面有十分广泛的运用。

微积分包含微分 (Difference) 和积分 (Integration) 以及相关数学概念和分支。

积分的一般形式

积分符号为 $\int$，很像一个拉长的 s，因为其全称为 sum，从称呼上就能看出来积分的目的。积分分为不定积分和定积分，以下为不定积分的一般形式：

$$ \int f(x) \mathrm{d} x $$

其中 $f(x)$ 必须是一个可积分函数。定积分的一般形式为：

$$ \int^a_b f(x) \mathrm{d} x $$

其中 $f(x)$ 必须是一个可积分函数，且其在区间 $[a,b]$ 内必须连续。

导数的一般形式

导数的符号为 $\prime$，其一般形式为 $f\prime(x)$，对于 $f(x)$ 的 $n$ 次导数，记为 $f^{(n)}(x)$。

导数和积分是逆运算，也就是说：

$$ [F(x)+C]\prime = f(x) $$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的积函数。$C$ 为常数

牛顿-莱布尼茨公式

对于任意可积函数 $f(x)$，满足：

$$ \int^a_b f(x) = F(a) - F(b) $$

通常也记作：

$$ F(x) \Big \rvert^a_b $$

参考文献

[1] 《普林斯顿微积分读本》 [美] 阿德里安·版纳 著

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