自然常数 e
什么是自然常数？
自然常数通常被记作 $e$，也被称为欧拉数，其在数学里的地位甚至比圆周率还高。其近似值为 $2.718281\ldots$。
通过以下几个示例，我们将体验到自然常数的“自然”之处。
自然常数是如何被计算出来的？
Note
$$ e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x $$
易证，反过来式子也成立：
$$ e=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} $$
$e$ 的一些特性
泰勒展开 (Taylor Formula)
已知函数 $f(x)=e^x$ 存在任意导数。将其在点 $e$ 进行泰勒展开，有：
Note
$$ f(x)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{i}(x)}{i!}+R_n(x) $$
令 $x=1$（即 $f(x)=e$）得：
$$ f(1)=\sum_{i=0}^n\frac{f^(i)(0)}{i!}+o(1) $$
故有：
$$ f(1)=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} $$
即：
$$ e=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!} $$
在复平面上的特性
在实数域里，$e$ 与 $\pi$ 是八竿子都打不着的关系，但是如果拓展到虚数域，$e$ 和 $\pi$ 就能发生巧妙的关系。
相信大家都已经听闻欧拉公式这个名字，很多数学家也认为它是“最美公式”，即：
Note
$$ e^{\mathrm{i}\pi}=-1 $$
欧拉公式的一般形式是：
$$ e^{\mathrm{i}x}=\cos x + \mathrm{i}\sin x $$
通俗地说，欧拉公式相当于从 $1$ 开始逆时针转 $x$ 度，也就是说如果转了 $a{\degree}$，那么其值就等于 $e^{\mathrm{i}a}$，这也是为什么 $e^{\mathrm{i}\pi}=-1$。
欧拉公式巧妙地将数学中两个重要常数 $e$ 和 $\pi$ 结合在了一起，这也是为什么它能获得“最美公式”的美称。
唯一一个导数等于自身的函数
设 $f(x)=ke^x$，那么可以证明，对于任意的一个数 $n$，均满足 $f^{(n)}(x)=ke^x$。也就是说 $ke^x$ 的导数是其自身。
如何证明呢？因为 $k$ 是常数，所以不用考虑也没不要考虑。我们先考虑一般函数 $y=a^x$ 的导数，根据导数的定义有：
Note
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x} $$
其等价于：
$$ a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} $$
因为：
$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}=\log a $$
将 $a$ 替换成 $e$，得 $(e^x)'=e^x$，故得证。
反比例函数的积分
设 $f(x)=\log x$，是 $e^x$ 的反函数。
大家应该都知道积分的基本公式之一：
$$ \int x^{\beta}\mathrm{d}x=\frac{x^{\beta + 1} - 1}{\beta + 1} $$
当 $\beta$ 趋向于 $-1$ 时，该积分式子就变成了了反比例函数的积分：
$$ \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\lim_{\beta \to 0} \frac{x^{\beta + 1} - 1}{\beta + 1} $$
所以要求的是：
$$ \lim_{\beta \to 0}\frac{x^{\beta + 1} - 1}{\beta + 1} $$
根据前面的公式，将对数函数代入，得到：
Note
$$ \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x = \log x $$
参考文献
[1] 知乎 常用极限无穷小推导
[2] 百度百科 等价无穷小
[3] 百度百科 自然常数 e
[4] 百度百科 泰勒展开
[5] 《简单微积分》 [日] 神永正博著
[6] 感谢洛谷用户 @Link_Cut_Y 的错误指出！